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数学基础知识

数学基础知识高等数学线性代数行列式矩阵向量线性方程组矩阵的特征值和特征向量二次型概率论和数理统计随机事件和概率随机变量及其概率分布多维随机变量及其分布随机变量的数字特征数理统计的基本概念

数据科学需要一定的数学基础，但仅仅做应用的话，如果时间不多，不用学太深，了解基本公式即可，遇到问题再查吧。

以下是以前考研考博时候的数学笔记，难度应该在本科3年级左右。

高等数学

1.导数定义：

导数和微分的概念

$f'({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}$ （1）

或者：

$f'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$ （2）

2.左右导数导数的几何意义和物理意义

$f(x)$ $x_0$ 处的左、右导数分别定义为：

${{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}},(x={{x}_{0}}+\Delta x)$

${{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$

3.函数的可导性与连续性之间的关系

Th1: $f(x)$ $x_0$ $\Leftrightarrow f(x)$ $x_0$ 处可导

Th2: $x_0$ $y=f(x)$ $x_0$ 处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。

Th3: ${f}'({{x}_{0}})$ $\Leftrightarrow {{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})={{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})$

4.平面曲线的切线和法线

$y-{{y}_{0}}=f'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})$ $y-{{y}_{0}}=-\frac{1}{f'({{x}_{0}})}(x-{{x}_{0}}),f'({{x}_{0}})\ne 0$

5.四则运算法则 $u=u(x)，v=v(x)$ $x$ $(u\pm v{)}'={u}'\pm {v}'$ $d(u\pm v)=du\pm dv$ $(uv{)}'=u{v}'+v{u}'$ $d(uv)=udv+vdu$ $(\frac{u}{v}{)}'=\frac{v{u}'-u{v}'}{{{v}^{2}}}(v\ne 0)$ $d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{{{v}^{2}}}$

6.基本导数与微分表 $y=c$ ${y}'=0$ $dy=0$ $y={{x}^{\alpha }}$ $\alpha$ ${y}'=\alpha {{x}^{\alpha -1}}$ $dy=\alpha {{x}^{\alpha -1}}dx$ $y={{a}^{x}}$ ${y}'={{a}^{x}}\ln a$ $dy={{a}^{x}}\ln adx$ $({{{e}}^{x}}{)}'={{{e}}^{x}}$ $d({{{e}}^{x}})={{{e}}^{x}}dx$

$y={{\log }_{a}}x$ ${y}'=\frac{1}{x\ln a}$

$dy=\frac{1}{x\ln a}dx$ $y=\ln x$ $(\ln x{)}'=\frac{1}{x}$ $d(\ln x)=\frac{1}{x}dx$

$y=\sin x$

${y}'=\cos x$ $d(\sin x)=\cos xdx$

$y=\cos x$

${y}'=-\sin x$ $d(\cos x)=-\sin xdx$

$y=\tan x$

${y}'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}={{\sec }^{2}}x$ $d(\tan x)={{\sec }^{2}}xdx$ $y=\cot x$ ${y}'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=-{{\csc }^{2}}x$ $d(\cot x)=-{{\csc }^{2}}xdx$ $y=\sec x$ ${y}'=\sec x\tan x$

$d(\sec x)=\sec x\tan xdx$ $y=\csc x$ ${y}'=-\csc x\cot x$

$d(\csc x)=-\csc x\cot xdx$ $y=\arcsin x$

${y}'=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$

$d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$ $y=\arccos x$

${y}'=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$ $d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$

$y=\arctan x$

${y}'=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$ $d(\arctan x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx$

$y=\operatorname{arc}\cot x$

${y}'=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$

$d(\operatorname{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx$ $y=shx$

${y}'=chx$ $d(shx)=chxdx$

$y=chx$

${y}'=shx$ $d(chx)=shxdx$

7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

$y=f(x)$ $x$ $x$ ${f}'(x)\ne 0$ $x$ $y$ $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ $\mu =\varphi (x)$ $x$ $y=f(\mu )$ $\mu$ $\mu =\varphi (x)$ $y=f(\varphi (x))$ $x$ ${y}'={f}'(\mu )\cdot {\varphi }'(x)$ $\frac{dy}{dx}$ $x$ $y$ $x$ $y$ $x$ $\frac{1}{y}$ ${{y}^{2}}$ $ln y$ ${{{e}}^{y}}$ $x$ $x$ $F(x,y)=0$ $\frac{dy}{dx}=-\frac{{{{{F}'}}_{x}}(x,y)}{{{{{F}'}}_{y}}(x,y)}$ ${{{F}'}_{x}}(x,y)$ ${{{F}'}_{y}}(x,y)$ $F(x,y)$ $x$ $y$ 的偏导数 3)利用微分形式不变性

8.常用高阶导数公式

$({{a}^{x}}){{\,}^{(n)}}={{a}^{x}}{{\ln }^{n}}a\quad (a>{0})\quad \quad ({{{e}}^{x}}){{\,}^{(n)}}={e}{{\,}^{x}}$ $(\sin kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})$ $(\cos kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})$ $({{x}^{m}}){{\,}^{(n)}}=m(m-1)\cdots (m-n+1){{x}^{m-n}}$ $(\ln x){{\,}^{(n)}}={{(-{1})}^{(n-{1})}}\frac{(n-{1})!}{{{x}^{n}}}$ $u(x)\,,v(x)$ $n$ ${{(uv)}^{(n)}}=\sum\limits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{{u}^{(i)}}{{v}^{(n-i)}}}$ ${{u}^{({0})}}=u$ ${{v}^{({0})}}=v$

9.微分中值定理，泰勒公式

Th1:(费马定理)

$f(x)$ $f(x)$ ${{x}_{0}}$ $f(x)\le f({{x}_{0}})$ $f(x)\ge f({{x}_{0}})$ ,

$f(x)$ ${{x}_{0}}$ ${f}'({{x}_{0}})=0$

Th2:(罗尔定理)

$f(x)$ $[a,b]$ 上连续；

$(a,b)$ 内可导；

$f(a)=f(b)$ ；

$(a,b)$ $\xi$ ${f}'(\xi )=0$ Th3: (拉格朗日中值定理)

$f(x)$ $[a,b]$ 上连续；

$(a,b)$ 内可导；

$(a,b)$ $\xi$ $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(\xi )$

Th4: (柯西中值定理)

$f(x)$ $g(x)$ $[a,b]$ 上连续；

$(a,b)$ ${f}'(x)$ ${g}'(x)$ ${g}'(x)\ne 0$

$(a,b)$ $\xi$ $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{{f}'(\xi )}{{g}'(\xi )}$

10.洛必达法则 $\frac{0}{0}$ $f\left( x \right),g\left( x \right)$ $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$ ;

$f\left( x \right),g\left( x \right)$ ${{x}_{0}}$ ${{x}_{0}}$ ${g}'\left( x \right)\ne 0$ ;

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$ $\infty$ )。

$X>0$ $\left| x \right|>X$ $f\left( x \right),g\left( x \right)$ ${g}'\left( x \right)\ne 0$ $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$ $\infty$ )。

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$ $\frac{\infty }{\infty }$ $f\left( x \right),g\left( x \right)$ $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty$ $f\left( x \right),g\left( x \right)$ ${{x}_{0}}$ ${{x}_{0}}$ ${g}'\left( x \right)\ne 0$ $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$ $\infty$ $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}.$ ${I{I}'}$ $\frac{\infty }{\infty }$ ${{I}'}$ 可写出。

11.泰勒公式

$f(x)$ ${{x}_{0}}$ $n+1$ ${{x}_{0}}$ $x$ ${{x}_{0}}$ $x$ $\xi$ $f(x)=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+\frac{1}{2!}{f}''({{x}_{0}}){{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+\cdots$ $+\frac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+{{R}_{n}}(x)$ ${{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n+1}}$ $f(x)$ ${{x}_{0}}$ $n$ 阶泰勒余项。

${{x}_{0}}=0$ $n$ $f(x)=f(0)+{f}'(0)x+\frac{1}{2!}{f}''(0){{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}{{x}^{n}}+{{R}_{n}}(x)$ ${{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}$ $\xi$ $x$ 之间.(1)式称为麦克劳林公式

${{x}_{0}}=0$ 处的泰勒公式

${{{e}}^{x}}=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}{{e}^{\xi }}$

$=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})$

$\sin x=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

$=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})$

$\cos x=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

$=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})$

$\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+\frac{{{(-1)}^{n}}{{x}^{n+1}}}{(n+1){{(1+\xi )}^{n+1}}}$

$=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+o({{x}^{n}})$

${{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}$ $+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}{{(1+\xi )}^{m-n-1}}$

${{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots$ $+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})$

12.函数单调性的判断 Th1: $f(x)$ $(a,b)$ $\forall x\in (a,b)$ $f\,'(x)>0$ $f\,'(x)<0$ $f(x)$ $(a,b)$ 内是单调增加的（或单调减少）

Th2: $f(x)$ ${{x}_{0}}$ ${{x}_{0}}$ $f\,'({{x}_{0}})=0$ 。

Th3: $f(x)$ ${{x}_{0}}$ $f\,'({{x}_{0}})=0$ $f(x)$ ${{x}_{0}}$ $f\,'({{x}_{0}})$ $x$ ${{x}_{0}}$ $f\,'(x)$ $f({{x}_{0}})$ $x$ ${{x}_{0}}$ $f\,'(x)$ $f({{x}_{0}})$ $f\,'(x)$ $x={{x}_{0}}$ $f({{x}_{0}})$ 不是极值。

Th4: $f(x)$ ${{x}_{0}}$ $f''(x)\ne 0$ $f\,'({{x}_{0}})=0$ $f'\,'({{x}_{0}})<0$ $f({{x}_{0}})$ $f'\,'({{x}_{0}})>0$ $f({{x}_{0}})$ $f'\,'({{x}_{0}})<0$ ，此方法失效。

13.渐近线的求法 $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b$ $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b$ ，则

$y=b$ $y=f(x)$ 的水平渐近线。

$\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty$ $\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty$ ，则

$x={{x}_{0}}$ $y=f(x)$ 的铅直渐近线。

$a=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x},\quad b=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x)-ax]$ $y=ax+b$ $y=f(x)$ 的斜渐近线。

14.函数凹凸性的判断 Th1: $f''(x)<0$ $f''(x)>0$ $f(x)$ 在I上是凸的（或凹的）。

Th2: ${{x}_{0}}$ $f''(x)=0$ $f''(x)$ $x$ ${{x}_{0}}$ $f''(x)$ $({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$ 为拐点。

Th3: $f(x)$ ${{x}_{0}}$ $f''(x)=0$ $f'''(x)\ne 0$ $({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$ 为拐点。

15.弧微分

$dS=\sqrt{1+y{{'}^{2}}}dx$

16.曲率

$y=f(x)$ $(x,y)$ $k=\frac{\left| y'' \right|}{{{(1+y{{'}^{2}})}^{\tfrac{3}{2}}}}$ $\left\{ \begin{align} & x=\varphi (t) \\ & y=\psi (t) \\ \end{align} \right.,$ $k=\frac{\left| \varphi '(t)\psi ''(t)-\varphi ''(t)\psi '(t) \right|}{{{[\varphi {{'}^{2}}(t)+\psi {{'}^{2}}(t)]}^{\tfrac{3}{2}}}}$ 。

17.曲率半径

$M$ $k(k\ne 0)$ $M$ $\rho$ $\rho =\frac{1}{k}$ 。

线性代数

行列式

1.行列式按行（列）展开定理

$A = ( a_{{ij}} )_{n \times n}$ $a_{i1}A_{j1} +a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{{in}}A_{{jn}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}$

$a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{{ni}}A_{{nj}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}$ $AA^{*} = A^{*}A = \left| A \right|E,$ $A^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A_{n1} & A_{n2} & \ldots & A_{{nn}} \\ \end{pmatrix} = (A_{{ji}}) = {(A_{{ij}})}^{T}$

$D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})$

$A,B$ $n$ $\left| {AB} \right| = \left| A \right|\left| B \right| = \left| B \right|\left| A \right| = \left| {BA} \right|$ $\left| A \pm B \right| = \left| A \right| \pm \left| B \right|$ 不一定成立。

$\left| {kA} \right| = k^{n}\left| A \right|$ $A$ $n$ 阶方阵。

$A$ $n$ $|A^{T}| = |A|;|A^{- 1}| = |A|^{- 1}$ $A$ $|A^{*}| = |A|^{n - 1}$

$n \geq 2$

$\left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad C} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {C\quad B} \\ \end{matrix} \right| =| A||B|$ $A,B$ $\left| \begin{matrix} {O} & A_{m \times m} \\ B_{n \times n} & { O} \\ \end{matrix} \right| = ({- 1)}^{{mn}}|A||B|$ 。

$D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})$

$A$ $n$ $\lambda_{i}(i = 1,2\cdots,n)$ $A$ $n$ $|A| = \prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}$

矩阵

$m \times n$ $a_{{ij}}$ $m$ $n$ $\begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\quad\cdots\quad a_{1n} \\ a_{21}\quad a_{22}\quad\cdots\quad a_{2n} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{m1}\quad a_{m2}\quad\cdots\quad a_{{mn}} \\ \end{bmatrix}$ $A$ $\left( a_{{ij}} \right)_{m \times n}$ $m = n$ $A$ $n$ $n$ 阶方阵。

矩阵的线性运算

1.矩阵的加法

$A = (a_{{ij}}),B = (b_{{ij}})$ $m \times n$ $m \times n$ $C = c_{{ij}}) = a_{{ij}} + b_{{ij}}$ $A$ $B$ $A + B = C$ 。

2.矩阵的数乘

$A = (a_{{ij}})$ $m \times n$ $k$ $m \times n$ $(ka_{{ij}})$ $k$ $A$ ${kA}$ 。

3.矩阵的乘法

$A = (a_{{ij}})$ $m \times n$ $B = (b_{{ij}})$ $n \times s$ $m \times s$ $C = (c_{{ij}})$ $c_{{ij}} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{{in}}b_{{nj}} = \sum_{k =1}^{n}{a_{{ik}}b_{{kj}}}$ ${AB}$ $C = AB$ 。

4. $\mathbf{A}^{\mathbf{T}}$ 、 $\mathbf{A}^{\mathbf{-1}}$ 、 $\mathbf{A}^{\mathbf{*}}$ 三者之间的关系

${(A^{T})}^{T} = A,{(AB)}^{T} = B^{T}A^{T},{(kA)}^{T} = kA^{T},{(A \pm B)}^{T} = A^{T} \pm B^{T}$

$\left( A^{- 1} \right)^{- 1} = A,\left( {AB} \right)^{- 1} = B^{- 1}A^{- 1},\left( {kA} \right)^{- 1} = \frac{1}{k}A^{- 1},$

${(A \pm B)}^{- 1} = A^{- 1} \pm B^{- 1}$ 不一定成立。

$\left( A^{*} \right)^{*} = |A|^{n - 2}\ A\ \ (n \geq 3)$ $\left({AB} \right)^{*} = B^{*}A^{*},$ $\left( {kA} \right)^{*} = k^{n -1}A^{*}{\ \ }\left( n \geq 2 \right)$

$\left( A \pm B \right)^{*} = A^{*} \pm B^{*}$ 不一定成立。

${(A^{- 1})}^{T} = {(A^{T})}^{- 1},\ \left( A^{- 1} \right)^{*} ={(AA^{*})}^{- 1},{(A^{*})}^{T} = \left( A^{T} \right)^{*}$

5.有关 $\mathbf{A}^{\mathbf{*}}$ 的结论

$AA^{*} = A^{*}A = |A|E$

$|A^{*}| = |A|^{n - 1}\ (n \geq 2),\ \ \ \ {(kA)}^{*} = k^{n -1}A^{*},{{\ \ }\left( A^{*} \right)}^{*} = |A|^{n - 2}A(n \geq 3)$

$A$ $A^{*} = |A|A^{- 1},{(A^{*})}^{*} = \frac{1}{|A|}A$

$A$ $n$ 阶方阵，则：

$r(A^*)=\begin{cases}n,\quad r(A)=n\\ 1,\quad r(A)=n-1\\ 0,\quad r(A)<n-1\end{cases}$

6.有关 $\mathbf{A}^{\mathbf{- 1}}$ 的结论

$A$ $\Leftrightarrow AB = E; \Leftrightarrow |A| \neq 0; \Leftrightarrow r(A) = n;$

$\Leftrightarrow A$ $\Leftrightarrow A;\Leftrightarrow Ax = 0$ 。

7.有关矩阵秩的结论

$r(A)$ =行秩=列秩；

$r(A_{m \times n}) \leq \min(m,n);$

$A \neq 0 \Rightarrow r(A) \geq 1$ ；

$r(A \pm B) \leq r(A) + r(B);$

(5) 初等变换不改变矩阵的秩

$r(A) + r(B) - n \leq r(AB) \leq \min(r(A),r(B)),$ $AB = O$ $r(A) + r(B) \leq n$

$A^{- 1}$ $\Rightarrow r(AB) = r(B);$ $B^{- 1}$ $\Rightarrow r(AB) = r(A);$

$r(A_{m \times n}) = n \Rightarrow r(AB) = r(B);$ $r(A_{m \times s}) = n\Rightarrow r(AB) = r\left( A \right)$ 。

$r(A_{m \times s}) = n \Leftrightarrow Ax = 0$ 只有零解

8.分块求逆公式

$\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} A & C \\ O & B \\\end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}& - A^{- 1}CB^{- 1} \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}$ ；

$\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}&{O} \\ - B^{- 1}CA^{- 1} & B^{- 1} \\\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \\ \end{pmatrix}^{- 1} =\begin{pmatrix} O & B^{- 1} \\ A^{- 1} & O \\ \end{pmatrix}$

$A$ $B$ 均为可逆方阵。

向量

1.有关向量组的线性表示

$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ $\Leftrightarrow$ 至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ $\beta$ $\Leftrightarrow \beta$ $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 唯一线性表示。

$\beta$ $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ $\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)$ 。

2.有关向量组的线性相关性

(1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关.

$n$ $n$ $\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}$ $\Leftrightarrow \left|\left\lbrack \alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n} \right\rbrack \right| \neq0$ $n$ $n$ $\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}$ $\Leftrightarrow |\lbrack\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\rbrack| = 0$ 。

$n + 1$ $n$ 维向量线性相关。

$\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{S}$ 线性无关，则添加分量后仍线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关。

3.有关向量组的线性表示

$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ $\Leftrightarrow$ 至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ $\beta$ $\Leftrightarrow\beta$ $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 唯一线性表示。

$\beta$ $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ $\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)$

4.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

$r(A_{m \times n}) =r$ $A$ $r(A)$ $A$ 的行列向量组的线性相关性关系为：

$r(A_{m \times n}) = r = m$ $A$ 的行向量组线性无关。

$r(A_{m \times n}) = r < m$ $A$ 的行向量组线性相关。

$r(A_{m \times n}) = r = n$ $A$ 的列向量组线性无关。

$r(A_{m \times n}) = r < n$ $A$ 的列向量组线性相关。

5. $\mathbf{n}$ 维向量空间的基变换公式及过渡矩阵

$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ $\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$ $V$ 的两组基，则基变换公式为：

$(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}) = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})\begin{bmatrix} c_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n} \\ c_{21}& c_{22}&\cdots & c_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ c_{n1}& c_{n2} & \cdots & c_{{nn}} \\\end{bmatrix} = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})C$

$C$ $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ $\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$ 的过渡矩阵。

6.坐标变换公式

$\gamma$ $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ $\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$ $X = {(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})}^{T}$ ，

$Y = \left( y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} \right)^{T}$ $\gamma =x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \cdots + x_{n}\alpha_{n} = y_{1}\beta_{1} +y_{2}\beta_{2} + \cdots + y_{n}\beta_{n}$ $X = CY$ $Y = C^{- 1}X$ $C$ $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ $\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$ 的过渡矩阵。

7.向量的内积

$(\alpha,\beta) = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n} = \alpha^{T}\beta = \beta^{T}\alpha$

8.Schmidt正交化

$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ $\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}$ $\beta_{i}$ $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{i}$ $(i= 1,2,\cdots,n)$ $\beta_{i}$ $\gamma_{i} =\frac{\beta_{i}}{\left| \beta_{i}\right|}$ $\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{i}$ $\beta_{1} = \alpha_{1}$ $\beta_{2} = \alpha_{2} -\frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}$ $\beta_{3} =\alpha_{3} - \frac{(\alpha_{3},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} -\frac{(\alpha_{3},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2}$ ，

............

$\beta_{s} = \alpha_{s} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2} - \cdots - \frac{(\alpha_{s},\beta_{s - 1})}{(\beta_{s - 1},\beta_{s - 1})}\beta_{s - 1}$

9.正交基及规范正交基

向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基。

线性方程组

1．克莱姆法则

$\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots +a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} =b_{2} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{{nn}}x_{n} = b_{n} \\ \end{cases}$ $D = \left| A \right| \neq 0$ $x_{1} = \frac{D_{1}}{D},x_{2} = \frac{D_{2}}{D},\cdots,x_{n} =\frac{D_{n}}{D}$ $D_{j}$ $D$ $j$ 列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式。

2. $n$ $A$ $\Leftrightarrow Ax = 0$ $\Leftrightarrow\forall b,Ax = b$ $r(A_{m \times n}) = n \Leftrightarrow Ax= 0$ 只有零解。

3.非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构

$A$ $m \times n$ $r(A_{m \times n}) = m$ $Ax =b$ $r(A) = r(A \vdots b) = m$ $Ax = b$ 有解。

$x_{1},x_{2},\cdots x_{s}$ $Ax = b$ $k_{1}x_{1} + k_{2}x_{2}\cdots + k_{s}x_{s}$ $k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 1$ $Ax =b$ $k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 0$ $Ax =0$ $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ $Ax = b$ $2x_{3} - (x_{1} +x_{2})$ $Ax = 0$ 的解。

${Ax} = b$ $\Leftrightarrow r(A) + 1 =r(\overline{A}) \Leftrightarrow b$ $A$ $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 线性表示。

4.奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解

${Ax} = 0$ ${Ax}= 0$ $n - r(A)$ ，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系。

$\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$ ${Ax} = 0$ 的基础解系，即：

$\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$ ${Ax} = 0$ 的解；

$\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$ 线性无关；

${Ax} = 0$ $\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$ $k_{1}\eta_{1} + k_{2}\eta_{2} + \cdots + k_{t}\eta_{t}$ ${Ax} = 0$ $k_{1},k_{2},\cdots,k_{t}$ 是任意常数。

矩阵的特征值和特征向量

1.矩阵的特征值和特征向量的概念及性质

$\lambda$ $A$ ${kA},{aA} + {bE},A^{2},A^{m},f(A),A^{T},A^{- 1},A^{*}$ ${kλ},{aλ} + b,\lambda^{2},\lambda^{m},f(\lambda),\lambda,\lambda^{- 1},\frac{|A|}{\lambda},$ $A^{T}$ 例外）。

$\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$ $A$ $n$ $\sum_{i= 1}^{n}\lambda_{i} = \sum_{i = 1}^{n}a_{{ii}},\prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}= |A|$ $|A| \neq 0 \Leftrightarrow A$ 没有特征值。

$\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}$ $A$ $s$ $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ ，

$\alpha = k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \cdots + k_{s}\alpha_{s}$ ,

$A^{n}\alpha = k_{1}A^{n}\alpha_{1} + k_{2}A^{n}\alpha_{2} + \cdots +k_{s}A^{n}\alpha_{s} = k_{1}\lambda_{1}^{n}\alpha_{1} +k_{2}\lambda_{2}^{n}\alpha_{2} + \cdots k_{s}\lambda_{s}^{n}\alpha_{s}$ 。

2.相似变换、相似矩阵的概念及性质

$A \sim B$ ，则

$A^{T} \sim B^{T},A^{- 1} \sim B^{- 1},,A^{*} \sim B^{*}$

$|A| = |B|,\sum_{i = 1}^{n}A_{{ii}} = \sum_{i =1}^{n}b_{{ii}},r(A) = r(B)$

$|\lambda E - A| = |\lambda E - B|$ $\forall\lambda$ 成立

3.矩阵可相似对角化的充分必要条件

$A$ $n$ $A$ $\Leftrightarrow$ $k_{i}$ $\lambda_{i}$ $n-r(\lambda_{i}E - A) = k_{i}$

$A$ $P^{- 1}{AP} = \Lambda,$ $A = {PΛ}P^{-1}$ $A^{n} = P\Lambda^{n}P^{- 1}$

(3) 重要结论

$A \sim B,C \sim D$ $\begin{bmatrix} A & O \\ O & C \\\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} B & O \\ O & D \\\end{bmatrix}$ .

$A \sim B$ $f(A) \sim f(B),\left| f(A) \right| \sim \left| f(B)\right|$ $f(A)$ $n$ $A$ 的多项式。

$A$ $A$ )

4.实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵

$A,B$ $n$ $P$ $B =P^{- 1}{AP}$ $A$ $B$ $A \sim B$ 。

$A \sim B$ 则有：

$A^{T} \sim B^{T}$

$A^{- 1} \sim B^{- 1}$ $A$ $B$ 均可逆）

$A^{k} \sim B^{k}$ $k$ 为正整数）

$\left| {λE} - A \right| = \left| {λE} - B \right|$ $A,B$ 有相同的特征值

$\left| A \right| = \left| B \right|$ $A,B$ 同时可逆或者不可逆

$\left( A \right) =$ $\left( B \right),\left| {λE} - A \right| =\left| {λE} - B \right|$ $A,B$ 不一定相似

二次型

1. $\mathbf{n}$ 个变量 $\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{,\cdots,}\mathbf{x}_{\mathbf{n}}$ 的二次齐次函数

$f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j =1}^{n}{a_{{ij}}x_{i}y_{j}}}$ $a_{{ij}} = a_{{ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)$ $n$ $x = \ \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix},A = \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ a_{n1}& a_{n2} & \cdots & a_{{nn}} \\\end{bmatrix}$ $f$ $f =x^{T}{Ax}$ $A$ $a_{{ij}} =a_{{ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)$ $A$ 的秩称为二次型的秩。

2.惯性定理，二次型的标准形和规范形

(1) 惯性定理

对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理。

(2) 标准形

$f = \left( x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} \right) =x^{T}{Ax}$ $x = {Cy}$ $f = x^{T}{Ax} =y^{T}C^{T}{AC}$

$y = \sum_{i = 1}^{r}{d_{i}y_{i}^{2}}$ $f(r \leq n)$ $r(A)$ 唯一确定。

(3) 规范形

$f$ $f = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + \cdots z_{p}^{2} - z_{p + 1}^{2} - \cdots -z_{r}^{2}$ $r$ $A$ $p$ $r -p$ 为负惯性指数，且规范型唯一。

3.用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性

$A$ $\Rightarrow {kA}(k > 0),A^{T},A^{- 1},A^{*}$ $|A| >0$ $A$ $a_{{ii}} > 0$ $|A_{{ii}}| > 0$

$A$ $B$ $\Rightarrow A +B$ ${AB}$ ${BA}$ 不一定正定

$A$ $\Leftrightarrow f(x) = x^{T}{Ax} > 0,\forall x \neq 0$

$\Leftrightarrow A$ 的各阶顺序主子式全大于零

$\Leftrightarrow A$ 的所有特征值大于零

$\Leftrightarrow A$ $n$

$\Leftrightarrow$ $P$ $A = P^{T}P$

$\Leftrightarrow$ $Q$ $Q^{T}{AQ} = Q^{- 1}{AQ} =\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & \\ \begin{matrix} & \\ & \\ \end{matrix} &\ddots & \\ & & \lambda_{n} \\ \end{pmatrix},$

$\lambda_{i} > 0,i = 1,2,\cdots,n.$ $\Rightarrow {kA}(k >0),A^{T},A^{- 1},A^{*}$ $|A| > 0,A$ $a_{{ii}} >0$ $|A_{{ii}}| > 0$ 。

概率论和数理统计

随机事件和概率

1.事件的关系与运算

$A \subset B$ $A$ $B$ 发生。

$A = B$ $A \subset B$ $B \subset A$ 。

$A\bigcup B$ $A + B$ $A$ $B$ 中至少有一个发生。

$A - B$ $A$ $B$ 不发生。

$A\bigcap B$ ${AB}$ $A$ $B$ 同时发生。

$A\bigcap B$ $\varnothing$ 。

$A\bigcap B=\varnothing ,A\bigcup B=\Omega ,A=\bar{B},B=\bar{A}$ 2.运算律 $A\bigcup B=B\bigcup A,A\bigcap B=B\bigcap A$ $(A\bigcup B)\bigcup C=A\bigcup (B\bigcup C)$ $(A\bigcap B)\bigcap C=A\bigcap (B\bigcap C)$ $\centerdot$ 摩根律

$\overline{A\bigcup B}=\bar{A}\bigcap \bar{B}$ $\overline{A\bigcap B}=\bar{A}\bigcup \bar{B}$ 4.完全事件组

${{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$ ${{A}_{i}}\bigcap {{A}_{j}}=\varnothing, i\ne j ,\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \bigcup }}\,=\Omega$

5.概率的基本公式 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ $A$ $B$ $P(A)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A|{{B}_{i}})P({{B}_{i}}),{{B}_{i}}{{B}_{j}}}=\varnothing ,i\ne j,\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\bigcup }}}\,{{B}_{i}}=\Omega$ (3) Bayes公式：

$P({{B}_{j}}|A)=\frac{P(A|{{B}_{j}})P({{B}_{j}})}{\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A|{{B}_{i}})P({{B}_{i}})}},j=1,2,\cdots ,n$ ${{B}_{i}}$ $P({{A}_{1}}{{A}_{2}})=P({{A}_{1}})P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})=P({{A}_{2}})P({{A}_{1}}|{{A}_{2}})$ $P({{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}})=P({{A}_{1}})P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})P({{A}_{3}}|{{A}_{1}}{{A}_{2}})\cdots P({{A}_{n}}|{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n-1}})$

6.事件的独立性 $A$ $B$ $\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)$ $A$ $B$ $C$ $\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)$ $P(BC)=P(B)P(C)$ $P(AC)=P(A)P(C)$ $A$ $B$ $C$ $\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)$ $P(BC)=P(B)P(C)$ $P(AC)=P(A)P(C)$ $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$

7.独立重复试验

$n$ $p$ $n$ $A$ $k$ $P(X=k)=C_{n}^{k}{{p}^{k}}{{(1-p)}^{n-k}}$ 8.重要公式与结论 $(1)P(\bar{A})=1-P(A)$ $(2)P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$ $P(A\bigcup B\bigcup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)$ $(3)P(A-B)=P(A)-P(AB)$ $(4)P(A\bar{B})=P(A)-P(AB),P(A)=P(AB)+P(A\bar{B}),$ $P(A\bigcup B)=P(A)+P(\bar{A}B)=P(AB)+P(A\bar{B})+P(\bar{A}B)$ $P(\centerdot |B)$ $P({{\bar{A}}_{1}}|B)=1-P({{A}_{1}}|B)$ $P({{A}_{1}}\bigcup {{A}_{2}}|B)=P({{A}_{1}}|B)+P({{A}_{2}}|B)-P({{A}_{1}}{{A}_{2}}|B)$ $P({{A}_{1}}{{A}_{2}}|B)=P({{A}_{1}}|B)P({{A}_{2}}|{{A}_{1}}B)$ ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{n}}$ $P(\bigcap\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}})=\prod\limits_{i=1}^{n}{P({{A}_{i}})},$ $P(\bigcup\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}})=\prod\limits_{i=1}^{n}{(1-P({{A}_{i}}))}$ $A$ $B$ $\Rightarrow$ $A$ $B$ $A$ $B$ $\Rightarrow$ $A$ $B$ ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{m}},{{B}_{1}},{{B}_{2}},\cdots ,{{B}_{n}}$ $f({{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{m}})$ $g({{B}_{1}},{{B}_{2}},\cdots ,{{B}_{n}})$ $f(\centerdot ),g(\centerdot )$ 分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为1（或0）的事件与任何事件相互独立.

随机变量及其概率分布

1.随机变量及概率分布

取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律

2.分布函数的概念与性质

$F(x) = P(X \leq x), - \infty < x < + \infty$

$0 \leq F(x) \leq 1$

$F(x)$ 单调不减

$F(x + 0) = F(x)$

$F( - \infty) = 0,F( + \infty) = 1$

3.离散型随机变量的概率分布

$P(X = x_{i}) = p_{i},i = 1,2,\cdots,n,\cdots\quad\quad p_{i} \geq 0,\sum_{i =1}^{\infty}p_{i} = 1$

4.连续型随机变量的概率密度

$f(x)$ ;非负可积，且:

$f(x) \geq 0,$

$\int_{- \infty}^{+\infty}{f(x){dx} = 1}$

$x$ $f(x)$ 的连续点，则:

$f(x) = F'(x)$ $F(x) = \int_{- \infty}^{x}{f(t){dt}}$

5.常见分布

$P(X = k) = p^{k}{(1 - p)}^{1 - k},k = 0,1$

$B(n,p)$ $P(X = k) = C_{n}^{k}p^{k}{(1 - p)}^{n - k},k =0,1,\cdots,n$

Poisson $p(\lambda)$ $P(X = k) = \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda},\lambda > 0,k = 0,1,2\cdots$

$U(a,b)$ $f(x) = \{ \begin{matrix} & \frac{1}{b - a},a < x< b \\ & 0, \\ \end{matrix}$

$N(\mu,\sigma^{2}):$ $\varphi(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{- \frac{{(x - \mu)}^{2}}{2\sigma^{2}}},\sigma > 0,\infty < x < + \infty$

$E(\lambda):f(x) =\{ \begin{matrix} & \lambda e^{-{λx}},x > 0,\lambda > 0 \\ & 0, \\ \end{matrix}$

$G(p):P(X = k) = {(1 - p)}^{k - 1}p,0 < p < 1,k = 1,2,\cdots.$

$H(N,M,n):P(X = k) = \frac{C_{M}^{k}C_{N - M}^{n -k}}{C_{N}^{n}},k =0,1,\cdots,min(n,M)$

6.随机变量函数的概率分布

$P(X = x_{1}) = p_{i},Y = g(X)$

$P(Y = y_{j}) = \sum_{g(x_{i}) = y_{i}}^{}{P(X = x_{i})}$

$X\tilde{\ }f_{X}(x),Y = g(x)$

$F_{y}(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y) = \int_{g(x) \leq y}^{}{f_{x}(x)dx}$ $f_{Y}(y) = F'_{Y}(y)$

7.重要公式与结论

$X\sim N(0,1) \Rightarrow \varphi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\Phi(0) =\frac{1}{2},$ $\Phi( - a) = P(X \leq - a) = 1 - \Phi(a)$

$X\sim N\left( \mu,\sigma^{2} \right) \Rightarrow \frac{X -\mu}{\sigma}\sim N\left( 0,1 \right),P(X \leq a) = \Phi(\frac{a -\mu}{\sigma})$

$X\sim E(\lambda) \Rightarrow P(X > s + t|X > s) = P(X > t)$

$X\sim G(p) \Rightarrow P(X = m + k|X > m) = P(X = k)$

(5) 离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。

(6) 存在既非离散也非连续型随机变量。

多维随机变量及其分布

1.二维随机变量及其联合分布

$(X,Y)$ $F(x,y) = P(X \leq x,Y \leq y)$

2.二维离散型随机变量的分布

$P\{ X = x_{i},Y = y_{j}\} = p_{{ij}};i,j =1,2,\cdots$

$p_{i \cdot} = \sum_{j = 1}^{\infty}p_{{ij}},i =1,2,\cdots$ $p_{\cdot j} = \sum_{i}^{\infty}p_{{ij}},j = 1,2,\cdots$

$P\{ X = x_{i}|Y = y_{j}\} = \frac{p_{{ij}}}{p_{\cdot j}}$ $P\{ Y = y_{j}|X = x_{i}\} = \frac{p_{{ij}}}{p_{i \cdot}}$

3. 二维连续性随机变量的密度

$f(x,y):$

$f(x,y) \geq 0$

$\int_{- \infty}^{+ \infty}{\int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dxdy}} = 1$

$F(x,y) = \int_{- \infty}^{x}{\int_{- \infty}^{y}{f(u,v)dudv}}$

$f_{X}\left( x \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f\left( x,y \right){dy}}$ $f_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dx}$

$f_{X|Y}\left( x \middle| y \right) = \frac{f\left( x,y \right)}{f_{Y}\left( y \right)}$ $f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_{X}(x)}$

4.常见二维随机变量的联合分布

$(x,y) \sim U(D)$ $f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{S(D)},(x,y) \in D \\ 0,其他 \end{cases}$

$(X,Y)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)$ $(X,Y)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)$

$f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1 - \rho^{2}}}.\exp\left\{ \frac{- 1}{2(1 - \rho^{2})}\lbrack\frac{{(x - \mu_{1})}^{2}}{\sigma_{1}^{2}} - 2\rho\frac{(x - \mu_{1})(y - \mu_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}} + \frac{{(y - \mu_{2})}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\rbrack \right\}$

5.随机变量的独立性和相关性

$X$ $Y$ $\Leftrightarrow F\left( x,y \right) = F_{X}\left( x \right)F_{Y}\left( y \right)$ :

$\Leftrightarrow p_{{ij}} = p_{i \cdot} \cdot p_{\cdot j}$ $\Leftrightarrow f\left( x,y \right) = f_{X}\left( x \right)f_{Y}\left( y \right)$ （连续型）

$X$ $Y$ 的相关性：

$\rho_{{XY}} = 0$ $X$ $Y$ $X$ $Y$ 相关

6.两个随机变量简单函数的概率分布

$P\left( X = x_{i},Y = y_{i} \right) = p_{{ij}},Z = g\left( X,Y \right)$ 则：

$P(Z = z_{k}) = P\left\{ g\left( X,Y \right) = z_{k} \right\} = \sum_{g\left( x_{i},y_{i} \right) = z_{k}}^{}{P\left( X = x_{i},Y = y_{j} \right)}$

$\left( X,Y \right) \sim f\left( x,y \right),Z = g\left( X,Y \right)$ 则：

$F_{z}\left( z \right) = P\left\{ g\left( X,Y \right) \leq z \right\} = \iint_{g(x,y) \leq z}^{}{f(x,y)dxdy}$ $f_{z}(z) = F'_{z}(z)$

7.重要公式与结论

$f_{X}(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dy,}$ $f_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dx}$

$P\left\{ \left( X,Y \right) \in D \right\} = \iint_{D}^{}{f\left( x,y \right){dxdy}}$

$(X,Y)$ $N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)$ 则有：

$X\sim N\left( \mu_{1},\sigma_{1}^{2} \right),Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}).$

$X$ $Y$ $\Leftrightarrow \rho = 0$ $X$ $Y$ 不相关。

$C_{1}X + C_{2}Y\sim N(C_{1}\mu_{1} + C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} + C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} + 2C_{1}C_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}\rho)$

${\ X}$ $Y=y$ $N(\mu_{1} + \rho\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}(y - \mu_{2}),\sigma_{1}^{2}(1 - \rho^{2}))$

$Y$ $X = x$ $N(\mu_{2} + \rho\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}(x - \mu_{1}),\sigma_{2}^{2}(1 - \rho^{2}))$

$X$ $Y$ $N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}),N(\mu_{1},\sigma_{2}^{2}),$ $\left( X,Y \right)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},0),$

$C_{1}X + C_{2}Y\tilde{\ }N(C_{1}\mu_{1} + C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2}).$

$X$ $Y$ $f\left( x \right)$ $g\left( x \right)$ $f\left( X \right)$ $g(Y)$ 也相互独立。

随机变量的数字特征

1.数学期望

$P\left\{ X = x_{i} \right\} = p_{i},E(X) = \sum_{i}^{}{x_{i}p_{i}}$ ；

$X\sim f(x),E(X) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{xf(x)dx}$

性质：

$E(C) = C,E\lbrack E(X)\rbrack = E(X)$

$E(C_{1}X + C_{2}Y) = C_{1}E(X) + C_{2}E(Y)$

$X$ $Y$ $E(XY) = E(X)E(Y)$

$\left\lbrack E(XY) \right\rbrack^{2} \leq E(X^{2})E(Y^{2})$

2.方差 $D(X) = E\left\lbrack X - E(X) \right\rbrack^{2} = E(X^{2}) - \left\lbrack E(X) \right\rbrack^{2}$

3.标准差 $\sqrt{D(X)}$ ，

4.离散型： $D(X) = \sum_{i}^{}{\left\lbrack x_{i} - E(X) \right\rbrack^{2}p_{i}}$

5.连续型： $D(X) = {\int_{- \infty}^{+ \infty}\left\lbrack x - E(X) \right\rbrack}^{2}f(x)dx$

性质：

$\ D(C) = 0,D\lbrack E(X)\rbrack = 0,D\lbrack D(X)\rbrack = 0$

$X$ $Y$ $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$

$\ D\left( C_{1}X + C_{2} \right) = C_{1}^{2}D\left( X \right)$

$D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2Cov(X,Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\rho\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}$

$\ D\left( X \right) < E\left( X - C \right)^{2},C \neq E\left( X \right)$

$\ D(X) = 0 \Leftrightarrow P\left\{ X = C \right\} = 1$

6.随机变量函数的数学期望

$Y = g(x)$

$X$ $P\{ X = x_{i}\} = p_{i},E(Y) = \sum_{i}^{}{g(x_{i})p_{i}}$ ；

$X$ $X\sim f(x),E(Y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{g(x)f(x)dx}$

$Z = g(X,Y)$ $\left( X,Y \right)\sim P\{ X = x_{i},Y = y_{j}\} = p_{{ij}}$ $E(Z) = \sum_{i}^{}{\sum_{j}^{}{g(x_{i},y_{j})p_{{ij}}}}$ $\left( X,Y \right)\sim f(x,y)$ $E(Z) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{\int_{- \infty}^{+ \infty}{g(x,y)f(x,y)dxdy}}$

7.协方差

$Cov(X,Y) = E\left\lbrack (X - E(X)(Y - E(Y)) \right\rbrack$

8.相关系数

$\rho_{{XY}} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$ $k$ $E(X^{k})$ $k$ $E\left\{ {\lbrack X - E(X)\rbrack}^{k} \right\}$

性质：

$\ Cov(X,Y) = Cov(Y,X)$

$\ Cov(aX,bY) = abCov(Y,X)$

$\ Cov(X_{1} + X_{2},Y) = Cov(X_{1},Y) + Cov(X_{2},Y)$

$\ \left| \rho\left( X,Y \right) \right| \leq 1$

$\ \rho\left( X,Y \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$ $a > 0$

$\rho\left( X,Y \right) = - 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$ $a < 0$

9.重要公式与结论

$\ D(X) = E(X^{2}) - E^{2}(X)$

$\ Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$

$\left| \rho\left( X,Y \right) \right| \leq 1,$ $\rho\left( X,Y \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$ $a > 0$

$\rho\left( X,Y \right) = - 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$ $a < 0$

(4) 下面5个条件互为充要条件：

$\rho(X,Y) = 0$ $\Leftrightarrow Cov(X,Y) = 0$ $\Leftrightarrow E(X,Y) = E(X)E(Y)$ $\Leftrightarrow D(X + Y) = D(X) + D(Y)$ $\Leftrightarrow D(X - Y) = D(X) + D(Y)$

$X$ $Y$ 独立为上述5个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件。

数理统计的基本概念

1.基本概念

$X$ 表示。

个体：组成总体的每个基本元素。

$X$ $n$ $X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}$ $n$ 的简单随机样本，简称样本。

$X_{1},X_{2}\cdots,X_{n},$ $X$ $g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n})$ $g()$ $g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n})$ 为统计量。

$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$

$S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{2}$

$k$ $A_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}^{k},k = 1,2,\cdots$

$k$ $B_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{k},k = 1,2,\cdots$

2.分布

$\chi^{2}$ $\chi^{2} = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \cdots + X_{n}^{2}\sim\chi^{2}(n)$ $X_{1},X_{2}\cdots,X_{n},$ $N(0,1)$

$t$ $T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$ $X\sim N\left( 0,1 \right),Y\sim\chi^{2}(n),$ $X$ $Y$ 相互独立。

$F$ $F = \frac{X/n_{1}}{Y/n_{2}}\sim F(n_{1},n_{2})$ $X\sim\chi^{2}\left( n_{1} \right),Y\sim\chi^{2}(n_{2}),$ $X$ $Y$ 相互独立。

$P(X \leq x_{\alpha}) = \alpha,$ $x_{\alpha}$ $X$ $\alpha$ 分位数

3.正态总体的常用样本分布

$X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}$ $N(\mu,\sigma^{2})$ 的样本，

$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i},S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \overline{X})}^{2},}$ 则：

$\overline{X}\sim N\left( \mu,\frac{\sigma^{2}}{n} \right){\ \ }$ $\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$

$\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}} = \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \overline{X})}^{2}\sim\chi^{2}(n - 1)}$

$\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \mu)}^{2}\sim\chi^{2}(n)}$

${\ \ }\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n - 1)$

4.重要公式与结论

$\chi^{2}\sim\chi^{2}(n)$ $E(\chi^{2}(n)) = n,D(\chi^{2}(n)) = 2n;$

$T\sim t(n)$ $E(T) = 0,D(T) = \frac{n}{n - 2}(n > 2)$ ；

$F\tilde{\ }F(m,n)$ $\frac{1}{F}\sim F(n,m),F_{a/2}(m,n) = \frac{1}{F_{1 - a/2}(n,m)};$

$X$ $E(\overline{X}) = E(X),E(S^{2}) = D(X),D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n}$